Doskonalenie przez projektowanie eksperymentów

Parafrazując słowa znanej piosenki „eksperymentować każdy może, jeden lepiej a drugi gorzej (…)”. Kluczowe w tym cytacie są dwie kwestie – to, że w zasadzie eksperymentuje każdy, począwszy od dzieci, przez osoby przygotowujące obiad, po pracowników linii produkcyjnych. Druga sprawa, to jakość eksperymentów. Wszystkie eksperymenty są projektowane, niektóre z nich po prostu niezbyt dobrze. Właściwie zaprojektowane eksperymenty pozwalają uzyskać wiarygodne, prawidłowe wyniki szybciej, łatwiej i przy mniejszych zasobach.

dr Dobrochna Sztajerska
1 czerwca, 2022
około 17 minut czytania

Krótka historia eksperymentowania

Początki projektowania eksperymentów sięgają około dwustu lat wstecz. Obejmowały eksperymenty rolne prowadzone w Rothamsted Experimental Station, dziś Rothamsted Research, pod kierunkiem Josepha H. Gilberta. Jednym z najbardziej znanych i najdłużej działających eksperymentów na stacji jest Park Grass Experiment, badanie biologiczne, które rozpoczęło się w 1856 roku i od tego czasu jest stale monitorowane ^[1]. W latach dwudziestych ubiegłego stulecia, brytyjski statystyk Sir Ronald A. Fisher, uważany za ojca współczesnej statystyki, opracowuje pierwsze projektowane eksperymenty. W tym celu wykorzystuje dwa pola uprawne do testowania różnych zmiennych, mających przyczynić się do zwiększenia plonów. Fisher jest autorem formalnego projektowania eksperymentów (DoE) i wprowadza trzy jego podstawowe zasady:

Zasada replikacji – eksperyment należy powtórzyć więcej niż raz.
Zasada randomizacji, czyli losowości– eksperyment należy projektować lub planować w taki sposób, żeby wszystkie zmiany spowodowane czynnikami (zmiennymi) zewnętrznymi można było przypisać „przypadkowi”.
Zasada kontroli lokalnej – czynnik zewnętrzny, znane źródło zmienności, zmienia się celowo w tak szerokim zakresie, jak to konieczne i należy to robić w taki sposób, żeby można było zmierzyć zmienność, którą powoduje, a tym samym wyeliminować ją
z błędu eksperymentalnego (ang. experimental error).

Fisher i jego współpracownicy stosują w projektowaniu eksperymentów kwadraty łacińskie i analizę ANOVA ^{[2] [3]}. W latach trzydziestych Frank Yates wprowadza z kolei plany czynnikowe. Podczas II wojny światowej George E.P. Box, statystyk pracujący dla Imperial Chemical Industries w Wielkiej Brytanii, stosuje zasady Fishera do analizy gazu paraliżującego używanego przez Niemców. Następnie wykorzystuje DoE do zastosowań przemysłowych. Razem z dwoma innymi badaczami jest współautorem „Statystyki dla eksperymentatorów”, przełomowego tekstu na temat DoE ^[4]. W 1951 roku George E.P. Box i K.B. Wilson wprowadzają metodykę planów odpowiedzi – RSM (ang. response surface methodology), która bada relacje między kilkoma zmiennymi objaśniającymi ^[5] i co najmniej jedną zmienną odpowiedzi ^[6]. Główną ideą RSM jest wykorzystanie sekwencji zaprojektowanych eksperymentów w celu uzyskania optymalnej odpowiedzi. Box i Wilson sugerują użycie w tym celu modelu wielomianowego drugiego stopnia ^[7]. Należy pamiętać, że ten model jest tylko przybliżeniem, ale używa się go, ponieważ jest łatwy do oszacowania i zastosowania, nawet jeśli niewiele wiadomo o analizowanym procesie. Kilka lat później Henry Scheffé (1958) wprowadza również podobne plany dla mieszanin. W latach sześćdziesiątych Genichi Taguchi przedstawia z kolei wiele koncepcji i metod poprawy jakości, które opierają się na robust design (RD). RD oznacza zaprojektowanie produktu, który może działać poprawnie w różnych warunkach ^[8]. Jednym z ważnych osiągnięć przemysłu wytwórczego jest zastosowanie nowoczesnych technik kontroli jakości off-line w inżynierii produktu i procesu. Wiele z tych technik jakości zostało ukształtowanych przez Williama E. Deminga. Na nich Taguchi zbudował swoją filozofię. Głównym sukcesem Deminga było przekonanie firm, że proces produkcyjny powinien być kontrolowany statystycznie w celu poprawy jakości. Taguchi cofnął się nieco i powiedział, że jakość musi zostać osiągnięta na etapie projektowania przed produkcją ^[9]. Głównym celem Taguchiego było zmniejszenie zmienności docelowych wartości cech produktu. RD służy wykorzystaniu interakcji między zmiennymi kontrolowanymi i niekontrolowanymi (szumem) poprzez znalezienie takich ustawień czynników kontrolowanych, które minimalizują zmienność w związku z występowaniem czynników niekontrolowanych ^[10]. Robust design obejmuje minimalizację oczekiwanej funkcji straty jakości ^[11] w celu określenia najlepszego projektu produktu (lub projektu procesu) ^[12], co można osiągnąć poprzez zastosowanie planów ortogonalnych (inaczej planów eksperymentu, które zostały z góry zdefiniowane i są wybierane w zależności od liczby czynników sterujących – celowo nastawianych i zmienianych w trakcie eksperymentu). W późniejszych latach pojawiły się jeszcze plany adaptacyjne, plany optymalne, a także System Shainina^TM (SS). Określa się go jako system rozwiązywania problemów zaprojektowany dla średnio- i wysokonakładowych procesów, w których dane są dostępne tanio, metody statystyczne są szeroko stosowane, a interwencja w proces jest trudna. System jest głównie stosowany w zakładach produkujących części i montażowych ^[13].

Rodzaje eksperymentów

W produkcji i kontroli jakości zmierza się do kontrolowania błędów i uzyskania jak najszerszej informacji o procesie lub leżącej u jego podstaw teorii, wykorzystując do tego dostępne zasoby. Z inżynierskiego punktu widzenia eksperymenty wykorzystuje się do szeroko pojętego doskonalenia, mając na uwadze między innymi następujące cele ^[14]:

Projekt eksperymentalny odnosi się do ram albo struktury eksperymentu i można wyodrębnić kilka różnych projektów, o których wspomniano już w części dotyczącej historii eksperymentowania. W szerokim ujęciu projekty eksperymentalne dzieli się najczęściej na dwie szerokie kategorie – nieformalne projekty eksperymentalne i formalne projekty eksperymentalne. Nieformalne to te projekty, które zwykle wykorzystują mniej wyrafinowaną formę analizy opartą na różnicach wielkości, podczas gdy formalne projekty eksperymentalne zapewniają stosunkowo większą kontrolę i wykorzystują precyzyjne procedury statystyczne do analizy. Najbardziej popularne projekty można podzielić na:

Nieformalne projekty eksperymentalne:
- przed i po bez grupy kontrolnej,
- tylko po z grupą kontrolną,
- przed i po z grupą kontrolną.
Formalne
- eksperyment randomizowany,
- eksperyment blokowy z randomizacją,
- kwadrat łaciński,
- plany czynnikowe,
- robust design,
- plany powierzchni odpowiedzi.

Poniżej pokrótce omówiono wymienione rodzaje eksperymentów. Należy jednak pamiętać, że większość z nich wymaga oprogramowania statystycznego, stąd też opisy poszczególnych projektów eksperymentalnych nie przedstawiają dokładnego sposobu ich przeprowadzania, a jedynie go przybliżają i wskazują na możliwości wykorzystania.

Przed i po bez grupy kontrolnej

W projekcie eksperymentu przed i po bez grupy kontrolnej wybiera się pojedynczą grupę testową albo obszar, a zmienną objaśnianą mierzy się przed wprowadzeniem zmiennej objaśniającej. Następnie wprowadza się tę zmienną, a po oddziaływaniu ponownie mierzy się zmienną objaśnianą. Efekt oddziaływania byłby równy poziomowi zjawiska po oddziaływaniu pomniejszonemu o poziom zjawiska przed oddziaływaniem. Podstawową wadą takiego eksperymentu jest to, że wraz z upływem czasu mogą wystąpić znaczne zewnętrzne różnice w efektach odziaływania. Przykładem takiego eksperymentu może być sytuacja, w której weryfikujemy na przykład wilgotność surowca przed i po magazynowaniu.

Tylko po z grupą kontrolną

W projekcie tylko po z grupą kontrolną wybiera się dwie grupy lub obszary (testowy i kontrolny) a oddziałuje się tylko na obszar testowy. Zmienna objaśniana jest wtedy mierzona w obu obszarach jednocześnie. Wpływ oddziaływania ocenia się odejmując wartość zmiennej objaśnianej w obszarze kontrolnym od jej wartości w obszarze testowym. Podstawowym założeniem takiego eksperymentu jest to, że te dwa obszary są identyczne pod względem ich zachowania wobec rozważanego zjawiska. Jeśli to założenie nie jest prawdziwe, istnieje możliwość pojawienia się zewnętrznej zmienności w efekcie oddziaływania. Jednak dane mogą być zbierane w takim projekcie bez względu na wpływ czasu. Pod tym względem projekt jest lepszy niż wcześniej opisany. Ilustrować ten eksperyment może sytuacja, w której szkolimy pracowników z zakresu obsługi klienta, następnie mierzymy satysfakcję klientów z procesu obsługi przez tych pracowników, którzy zostali poddani szkoleniu oraz przez tych, którzy nie zostali mu poddani.

Przed i po z grupą kontrolną

W projekcie przed i po z grupą kontrolną wybiera się dwa obszary i zmienną objaśnianą mierzy w obu obszarach dla identycznego okresu przed oddziaływaniem. Odziaływanie jest następnie wprowadzane tylko do obszaru testowego, a zmienna objaśniana jest mierzona w obu przez identyczny okres czasu po wprowadzeniu odziaływania. Efekt oddziaływania określa się, odejmując zmianę zmiennej objaśnianej w obszarze kontrolnym od zmiany zmiennej objaśnianej w obszarze testowym. Ten rodzaj eksperymentu jest lepszy od dwóch powyższych ponieważ pozwala uniknąć zewnętrznych zmienności wynikających zarówno z upływu czasu, jak i nieporównywalności obszarów testowych i kontrolnych. W przypadku braku danych historycznych, czasu lub porównywalnego obszaru kontrolnego, powinniśmy wybrać jeden z dwóch nieformalnych eksperymentów wymienionych powyżej. Ten rodzaj projektu eksperymentalnego można zilustrować przykładem zaprezentowanym wyżej, rozszerzonym o badanie satysfakcji z obsługi przez wszystkich pracowników, którzy uczestniczyli w badaniu (z grupy testowej oraz kontrolnej), ale przed wprowadzeniem oddziaływania do grupy testowej.

Eksperyment randomizowany

Pierwszy z wymienionych wyżej eksperymentów formalnych – eksperyment randomizowany – obejmuje tylko dwie zasady eksperymentów określone przez Fishera – zasadę replikacji i randomizacji. Jest to najprostszy możliwy eksperyment formalny, a procedura jego analizy jest również łatwiejsza. Zasadniczą cechą eksperymentu jest to, że badani są losowo przydzielani do eksperymentalnych grup – każdy ma te same szanse na dostanie się do grupy testowej albo kontrolnej. Do analizy stosuje się tu jednoczynnikową analizę wariancji (jednoczynnikową analizę ANOVA). Taki projekt eksperymentalny stosuje się, gdy obszary doświadczalne są jednorodne, a różnice spowodowane czynnikami niekontrolowanymi traktuje się jako losowe. Schemat może przyjąć na przykład postać dwugrupowego prostego randomizowanego eksperymentu (Rys. 1.).

Eksperyment blokowy z randomizacją

Eksperyment blokowy z randomizacją daje możliwość zastosowania również trzeciej z zasad Fishera – kontroli lokalnej . W tym eksperymencie elementy eksperymentu są najpierw dzielone na grupy, zwane blokami, tak że w każdej grupie elementy są stosunkowo jednorodne pod względem wybranej zmiennej. Zmienna wybrana do grupowania badanych to taka, która uważana jest za powiązaną z miarami, które należy uzyskać w odniesieniu do zmiennej objaśnianej. Liczba elementów w danym bloku jest równa liczbie odziaływań, a jeden element w każdym bloku jest losowo przypisywany do każdego oddziaływania ^[15]. Eksperyment RB analizuje się przy pomocy dwukierunkowej analizy wariancji (dwuczynnikowa ANOVA). Dla zobrazowania działania eksperymentu, autorka tekstu proponuje przykład. Przedsiębiorstwo X chce wprowadzić na rynek jeden nowy produkt, w tym celu testuje 4 nowe produkty wśród 6 swoich stałych klientów, których wybrano losowo z listy stałych odbiorców. Produkty będą testowane na skali 1-5 w ramach 8 kategorii, w schemacie jeden produkt przez tydzień, zatem przetestowanie wszystkich zajmie 4 tygodnie. Kolejność testowania produktów również została dobrana losowo (Tab. 1).

W celu dalszej analizy przeprowadza się test analizy wariancji. Celem eksperymentów blokowych jest między innymi wyeliminowanie wpływu czynników zewnętrznych.

Kwadrat łaciński

Eksperymenty w schemacie kwadratów łacińskich są z kolei często stosowane w badaniach rolniczych, ponieważ przyroda odgrywa w nich ważną rolę. Plany stosuje się, jeśli efekt badanej zmiennej jest silnie uzależniony od dwóch dominujących zmiennych zakłócających, które są jednak znane i można je kontrolować. Plany zostały stworzone przez Fishera, który poczynił trzy założenia ^[16]:

Plany Fishera mają liczbę testów równą kwadratowi liczby nastaw, czyli jeśli czynnik ma 4 nastawy (np. niska, średnia, wysoka, ekstremalnie wysoka), to testów będzie 16, jeśli 5, to 25, etc. Wypełnianie kwadratów można rozpocząć od dowolnej kolumny/wiersza. (Rys. 2.).

Działanie eksperymentu można zobrazować przy pomocy przykładu, w którym dział utrzymania ruchu kopalni węgla kamiennego testuje rodzaj smaru wykorzystywany do utrzymania maszyn górniczych. Maszyny są rozmieszczone w różnych częściach kopalni, gdzie panuje różna wilgotność, a pracownicy utrzymania ruchu dokonujący konserwacji mają różne kompetencje (czynniki blokujące). Na Rysunku 3. znajduje się schemat planu w odniesieniu do czterech rodzajów smarów (A, B, C, D) oraz dwóch czynników blokujących, a mianowicie zmiennej wilgotności oraz zmieniających się kompetencji pracowników. W przykładzie każdy rodzaj smaru pojawia się cztery razy, ale jest używany tylko raz w każdym rzędzie i każdej kolumnie. Dwa czynniki blokujące mogą być reprezentowane przez wiersze i kolumny (jeden przez wiersze, a drugi przez kolumny). Należy jednak pamiętać, że wszystkie zmienne powinny mieć tyle samo nastaw, np. kompetencje pracowników – niskie, średnie, wysokie, ekspert; wilgotność oraz lepkość smaru – niska, średnia, wysoka, ekstremalnie wysoka.

Zaletą tego projektu eksperymentalnego jest to, że pozwala na wyeliminowanie różnic w warunkach panujących w kopalni i w kompetencjach pracowników. Ma jednak jedno ograniczenie, chociaż każdy rząd i każda kolumna reprezentują w równym stopniu wszystkie rodzaje smarów, mogą występować znaczne różnice w oznaczaniu rzędu i kolumny, należy zatem założyć, że nie ma interakcji między smarami a czynnikami blokującymi. Najczęściej stosowane są plany od 5×5 do 9×9.

Plany czynnikowe

Plany czynnikowe są z kolei wykorzystywane w eksperymentach, w których określone mają być skutki zmiany więcej niż jednego czynnika. Mają one szczególne znaczenie w wielu zjawiskach gospodarczych i społecznych, gdzie na dany problem wpływa zwykle duża liczba czynników. Plany czynnikowe mogą być dwojakiego rodzaju: proste i złożone. W przypadku prostych (dwuczynnikowych) planów czynnikowych bierze się pod uwagę wpływ dwóch różnych czynników na zmienną objaśnianą, ale gdy eksperyment jest wykonywany z więcej niż dwoma czynnikami, stosuje się złożone plany czynnikowe (wieloczynnikowe) ^[17]. Prosty plan czynnikowy może być planem 2 × 2, 3 × 4 albo 5 × 3, etc.

Plany czynnikowe mogą być również kompletne albo ułamkowe (frakcyjne). Pierwsze stosuje się przy małej liczbie czynników, z kolei drugie przy ich dużej liczbie (czasem w celu wyodrębnienia spośród wielu czynników tych najważniejszych do eksperymentu pełnego), gdy względy ekonomiczne, czasowe, etc. nie pozwalają na przeprowadzenie tylu testów ^[18]. W celu zobrazowania działania planów czynnikowych w Tabeli 2. przedstawiono prosty plan czynnikowy 2 × 2 (dwa czynniki, dwa ich poziomy – niski/wysoki – przyporządkowanie do poziomu zależy od przeprowadzających eksperyment). Pewna cukiernia zamierzała wprowadzić do swojej oferty tort bezowy. W tym celu przeprowadzono testy wśród klientów. Stwierdzono, że dla klientów najistotniejsze są dwa czynniki – beza oraz masa.

Wyliczono, że liczba prób powinna wynosić 4 (2²). Wynik mierzono na skali punktowej 1-25. Każdy tort testowało 20 losowo wybranych klientów (badanie z randomizacją ^[19]), wynik był średnią arytmetyczną ich odpowiedzi. W celu uzyskania najbardziej wiarygodnych wyników należałoby przeprowadzić replikację badania, czyli powtórzyć je na przykład w kolejnym tygodniu na świeżo przygotowanym torcie. Należy pamiętać, że przedstawiony tu przykład ilustrujący wykorzystanie planów czynnikowych jest znacznym uproszczeniem. Na Rysunku 4., w kolumnach 1-2, pokazano nastawy 2 czynników wykorzystanych do badania. Sposób zapisu nastaw jest zawsze taki sam. W kolumnie 4 pokazano zapis dla interakcji pomiędzy poszczególnymi czynnikami (jest wynikiem równania, np. „minus i minus daje plus”). W przypadku planu pełnego (w planie frakcyjnym nie ma takiej opcji) istnieje możliwość pokazania, czy występuje wzajemne oddziaływanie (interakcja), w przykładzie tylko jedna – pomiędzy bezą i masą (AB). Jest to istotne, ponieważ o sukcesie może decydować właśnie interakcja pomiędzy czynnikami, a nie każdy z nich oddzielnie.

Wyniki eksperymentu wskazują, że najistotniejszy z punktu widzenia satysfakcji klienta czynnik to beza, która powinna być miękka w środku (dodając do siebie wyniki dla czynnika A na wysokim poziomie „+” uzyskujemy wartość 46,5, natomiast na niskim „-„ wartość jest niższa i wynosi -39,2). Masa w opisanym przypadku ma mniejsze znaczenie, natomiast interakcja nie jest istotna.

Inne formalne projekty eksperymentalne

Biorąc pod uwagę to, że dwa ostatnie z przywołanych wyżej projektów eksperymentalnych – robust design oraz plany powierzchni odpowiedzi – wymagają dobrej znajomości projektowania eksperymentów oraz gruntownej wiedzy statystycznej, a chcąc dobrze je wyjaśnić, należałoby dokonać rozległego opisu oraz wykorzystać oprogramowanie statystyczne, to autorka tekstu pozostanie jedynie przy ich krótkim opisie w części historycznej. Ciekawych tych zagadnień czytelników zachęca się do sięgnięcia do którejś z wymienionych w bibliografii pozycji przedstawiających te zagadnienia szczegółowo.

Podsumowanie

Planowanie doświadczeń jest narzędziem, które w określonych warunkach może doprowadzić do znaczącego podniesienia jakości produkcji ^[20]. Strategicznie zaplanowany i przeprowadzony eksperyment może dostarczyć wielu informacji o wpływie jednego lub więcej czynników na zmienną odpowiedzi. Nie zawsze są to bardzo zaawansowane sposoby. Oprócz wymienionych w opracowaniu projektów eksperymentalnych stosuje się również inne podejścia, np. utrzymywanie pewnych czynników na stałym poziomie i zmianę poziomów tylko jednej zmiennej (ang. one factor at time, OFAT). Inną opcją jest analiza wyjść procesu, która proponuje wykorzystanie kart kontrolnych i określenie na ich podstawie na przykład, czy dana maszyna bądź narzędzie mają wpływ na proces. Wreszcie, stosuje się również, dość pracochłonną i nie zawsze skuteczną metodę prób i błędów (ang. trial & error). Jest to sposób na osiągnięcie celu lub rozwiązanie problemu poprzez wypróbowywanie różnych możliwości i wyciąganie błędów z pomyłek.

Opisane w niniejszej pracy projektowanie eksperymentów bazuje na metodach statystycznych, zatem bez znajomości i posiadania przynajmniej podstawowych narzędzi statystycznych trudno je w całości przeprowadzić (choć niektóre eksperymenty na prostych planach czynnikowych można zrealizować bez wykorzystania zaawansowanego oprogramowania). Wynika to z tego, że DoE zostało opracowane tak, żeby analizować wpływ wielu czynników szybko i w usystematyzowany w sposób. Jak wspomniano, projektowanie eksperymentów można wykorzystać na wielu frontach doskonalenia od rozwoju produktów i procesów, przez optymalizację danych wyjściowych, po identyfikację optymalnego ustawienia procesu produkcji w celu zmniejszenia liczby odpadów, zwiększenia bezpieczeństwa procesów i produktów, obniżenia kosztów i podniesienia jakości.

Przypisy:

[1] Silvertown, J., Poulton, P., Johnston, E., Edwards, G., Heard, M., and Biss, P.M. (2006). The Park Grass Experiment 1856-2006: its contribution to ecology. Journal of Ecology, 94(4), 801–814.

[2] Narzędzie analityczne, które dzieli obserwowaną skumulowaną zmienność znalezioną w zbiorze danych na dwie części: czynniki systematyczne (zmienne specjalne) i czynniki losowe. Czynniki systematyczne mają statystyczny wpływ na dany zbiór danych, natomiast czynniki losowe nie.

[3] Fisher, R. A. (1991). The design of experiments. Oxford: University Press,

[4] Box, G.E.P, Hunter, W.G. and Hunter, J.S. (1978). Statistics for experimenters. New York: Wiley, 653.

[5] Inaczej predyktor, zmienna egzogeniczna/egzogenna, zewnętrzna czy też niezależna (przy używaniu tej nazwy należy zachować ostrożność, ponieważ zmienne objaśniające nie muszą być od siebie niezależne) – ta, przy pomocy której wylicza się zmienną odpowiedzi.

[6] Inaczej zmienna endogeniczna/endogenna, prognozowana, wewnętrzna czy też objaśniana, czasem zależna – ta, której wartość chce się oszacować przy pomocy analiz statystycznych, a na którą mogą oddziaływać inne zmienne, powodując jej adekwatne zmiany.

[7] Stopień wielomianu to najwyższa potęga niewiadomej (x) w tym wielomianie, w przypadku wielomianu drugiego stopnia x występuje w drugiej potędze (x²).

[8] Taguchi, G., Chowdhury, S., Wu, Y., (2005). Taguchi’s Quality Engineering Handbook. New Jersey: John Wiley&Sons, 311.

[9] Wynika to z tego, że większość błędów wynika z nieprawidłowości w fazie przygotowania produkcji. Ich wykrywalność we wstępnej fazie jest niewielka, natomiast większość błędów wykrywanych jest w fazie produkcji i jej kontroli oraz w fazie eksploatacji.

[10] Brewer, K., Carraway, L., & Ingram, D. (2010). Forward Selection as a Candidate for Constructing Nonregular Robust Parameter Designs. Technical Report. Arkansas State University; Li, W., and Nachtsheim, C. J. (2000). Model-Robust Factorial Designs. Technometrics, 42(4), 345–352.

[11] Bazuje na założeniu, że klient wymaga doskonalenia jakości oferowanego produktu i jest gotowy zapłacić za ulepszenia. Każde niespełnienie wymagań klienta jest również stratą dla producenta. Straty te można podzielić na wymierne i niewymierne. Straty wymierne wynikają głównie z konieczności korygowania niezgodności wykrytych wewnątrz i na zewnątrz organizacji, natomiast niewymierne są związane z niezadowoleniem klienta, utraconymi możliwościami, utratą klientów (Balon, U. (2006). Przegląd wybranych modeli klasyfikacji kosztów jakości. Problemy Jakości, 6, 15-19.

[12] Pignatiello, J.J. (1988). An Overview of the Strategy and Tactics of Taguchi. IIE Transactions, 20(3), 247–254.

[13] Steiner, S.H., MacKay, R.J., and Ramberg, J.S. (2007). An Overview of the Shainin System^TM for Quality Improvement. Quality Engineering, 20(1), 6–19.

[14] Montgomery D.C. (2020). Introduction to Statistical Quality Control. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 506.

[15] Kendall, J.M. (2003). Designing a research project: randomised controlled trials and their principles. Emergency Medicine Journal, 20(2), 164–168.

[16] Richardson, J.T. (2018). The use of Latin-square designs in educational and psychological research. Educational Research Review, 24, 84-97.

[17] Kończak, G. (2009). Metody statystyczne w sterowaniu jakością produkcji. Katowice: Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Katowicach, 318.

[18] Mając na przykład 15 czynników, każdy po 2 poziomy należałoby przeprowadzić 2¹⁵ testów, zatem 32 768.

[19] Do doboru próby można wykorzystać arkusz kalkulacyjny i posłużyć się funkcją =LICZBA.CAŁK(LOS()*100)+1 (zakładamy, że dziennie cukiernię odwiedza średnio 100 klientów i z takiego zbioru wybieramy 20) albo, jeśli przedsiębiorstwo dysponuje, można skorzystać z oprogramowania statystycznego.

[20] Kończak, G. op. cit., 314.

Bibliografia:

Balon, U. (2006). Przegląd wybranych modeli klasyfikacji kosztów jakości. Problemy Jakości, 6, 15-19.
Box, G.E.P, Hunter, W.G. and Hunter, J.S. (1978). Statistics for experimenters. New York: Wiley, 653.
Brewer, K., Carraway, L., & Ingram, D. (2010). Forward Selection as a Candidate for Constructing Nonregular Robust Parameter Designs. Technical Report. Arkansas State University.
Fisher, R. A. (1991). The design of experiments. Oxford: University Press,
Kendall, J.M. (2003). Designing a research project: randomised controlled trials and their principles. Emergency Medicine Journal, 20(2), 164–168.
Kończak, G. (2009). Metody statystyczne w sterowaniu jakością produkcji. Katowice: Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Katowicach, 318.
Li, W., and Nachtsheim, C. J. (2000). Model-Robust Factorial Designs. Technometrics, 42(4), 345–352.
Montgomery D.C. (2020). Introduction to Statistical Quality Control. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 506.
Pignatiello, J.J. (1988). An Overview of the Strategy and Tactics of Taguchi. IIE Transactions, 20(3), 247–254.
Richardson, J.T. (2018). The use of Latin-square designs in educational and psychological research. Educational Research Review, 24, 84-97.
Silvertown, J., Poulton, P., Johnston, E., Edwards, G., Heard, M., and Biss, P.M. (2006). The Park Grass Experiment 1856-2006: its contribution to ecology. Journal of Ecology, 94(4), 801–814.
Steiner, S.H., MacKay, R.J., and Ramberg, J.S. (2007). An Overview of the Shainin System^TM for Quality Improvement. Quality Engineering, 20(1), 6–19.
Taguchi, G., Chowdhury, S., Wu, Y., (2005). Taguchi’s Quality Engineering Handbook. New Jersey: John Wiley&Sons, 311.

Doskonalenie przez projektowanie eksperymentów

Spis treści

Krótka historia eksperymentowania